Filtry: Zemsta Inżynierów.

Wiedział Wieniawa, co mówi, przestrzegając kolegów słowami “koniec żartów, zaczynają się schody”.

Szerokość spektrum zastosowań, ilość rozwiązań i konstrukcji, oraz wynikających z nich ograniczeń, wreszcie podstawy teoretyczne – to wszystko zebrane razem może budzić uzasadnioną trwogę. A rzetelne przygotowanie i systematyzacja całej zebranej wiedzy, daleko wykraczają poza możliwości i potrzeby zwykłych śmiertelników, takich, jak ja, czy Ty, drogi Czytelniku.
Siłą rzeczy zatem mimo, iż dołożę wszelkich starań, by uniknąć niepotrzebnych wpadek, błędów, nieporozumień i przekłamań, radzę, abyś poniższy tekst potraktował raczej jako – prawdopodobnie żałosną – próbę zgłębienia tematu bardziej powikłanego, niż fabuła Mullholand Drive.

Wróćmy jednak do domeny, w której się będziemy poruszać i ograniczeń na jakie z jej natury jesteśmy skazani.

Naszym pierwotnym punktem odniesienia będzie standard DVD Audio (lub, jesli kto woli, jego alternatywa: SACD): rozdzielczość 96 kHz, 24 bity, które przekładają się na dynamikę ~144 dB i skuteczne pasmo 0 – 48 kHz gwarantujące bezbłędny dźwięk w zakresie nas interesującym (powiedzmy: 0 – 22 kHz).

Już w tym miejscu – podstawowej obróbki dźwięku, który nie został nawet jeszcze odtworzony, pojawia się pierwszy filtr. Jest on częścią integralną procesu digitalizacji dźwięku.

Zasada jego działania  opiera się na twierdzeniu Kotielnikowa-Shannona i wynikającej z niego częstotliwości Nyquista, ustalonej jako dwukrotność górnej granicy częstotliwościowej interesującego nas zakresu.
Granica częstotliwości Nyquista wskazuje wartość, powyżej której interferencja między sygnałem procedowanym, a modulującym (częstotliwość zegara taktującego przetworniki AD/DA) powoduje powstawanie nieistniejących w sygnale wejściowym dodatkowych dźwięków.

W praktyce częstotliwość Nyquista definiując tylko wartość graniczną, wykorzystywana jest to sterowania filtrem dolnoprzepustowym, odcinającym pasmo zawierające wspomniane brudy od reszty, która następnie zostaje wzmocniona i odtworzona, jako słyszalny dźwięk.

Ten sposób działania napotykamy co rusz: dźwięk, którego jest zbyt dużo, jest, odcinany, filtrowany ze zbędnych osadów i przetwarzany – jak brudna woda z kranu, na której chcemy ugotować herbatę.

Teoria jednak mówi o dwukrotnej wartości częstotliwości granicznej. Natomiast już wiedza z drugiej klasy podstawówki pozwala na proste prześledzenie iż dwukrotność liczby 22 to nieco mniej, niż 96. O co chodzi?

Spokojnie, drogi Czytelniku, wszystko pod kontrolą… to tylko niewygody spowodowane stosowaniem systemu binarnego …

… może kiedy indziej… Przyczyna jest dużo bardziej prozaiczna: filtry z natury działają z pewnym zakresem dokładności.

Częstotliwość odcięcia (graniczna, poza którą filtr ingeruje w sygnał wejściowy) nie jest na ogół realną granicą, poza którą w sygnale przetworzonym pozostaje pustka.
W rzeczywistości wraz ze wzrostem odległości od częstotliwości odcięcia dźwięk po prostu systematycznie cichnie.

Lowpass

Darujmy sobie (przynajmniej na razie) dociekania przyczyn takiego stanu rzeczy, wystarczy, że ów fakt przyjmiemy do wiadomości tak, jak to, że św. Mikołaj jest de facto wymysłem XIX-wiecznych wyzyskiwaczy napędzających konsumpcjonizm burżuazji kosztem uciemiężonej klasy robotniczej, a MKOl podpisał umowy sponsorskie z Mc Donald’s mając jednak przynajmniej mgliste pojęcie o zasadach zdrowego odżywiania.
Warto jednak, abyś, drogi Czytelniku zdawał sobie z tego sprawę, czy to kręcąc gałką filtra, czy to przegryzając Big Maca podczas oglądania transmisji z igrzysk na iPadzie, którego znalazłeś pod choinką.

Dodatkowa przestrzeń między granicą pasma słyszalnego, a częstotliwością kwantyzacji pozwala na skuteczniejsze odfiltrowywanie brudu. I tyle.

Wróćmy jednak do naszej domeny, którą po niezbędnych cięciach będzie zakres częstotliwościowy 0 ~ 22 kHz (oś pozioma, skala logarytmiczna), oraz zakres dynamiczny -144 ~ 0 dBFS (oś pionowa, skala logarytmiczna).

Warto w tym miejscu zwrócić jeszcze uwagę na specyfikę skal (jednostek).
Z uwagi zarówno na złożony charakter zarówno samego zjawiska dźwięku, jak i jego percepcji przez człowieka, trzeba niestety uznać, iż wspomniane skale, jakkolwiek szeroko wykorzystywane ze względu na zasadniczą obiektywność w pomiarach, nieszczególnie przekładają się na wartości odczuwalne, lub (w większości przypadków) pozostają mocno nieintuicyjne.

O ile jeszcze częstotliwość per se, jako punkt odniesienia dla ustalania wysokości dźwięku można – z pewnymi zastrzeżeniami – przyjąć, o tyle dB, jako jednostka dynamiki jest już dość kłopotliwa. Wystarczy bowiem przeanalizować samą definicję jednostki, by po chwili poczuć wilgoć w uszach spowodowaną wypływającym mózgiem.

Decybel (dB) jest jednostką wtórną popularną wyłącznie dlatego, iż definicja jednostki podstawowej skazałaby uzytkowników na błądzenie pośród kłopotliwych ułamków (vide: gram vs kilogram). Co więcej – jednostka ta przedstawia wyłącznie relacje pomiędzy dwiema ustalonymi wielkościami, które z założenia podlegają porównaniu.

Mamy zatem do czynienia ze swoistym paradoksem, bowiem podając wartość jesteśmy zmuszeni do przyjęcia jakiegoś punktu odniesienia – nie da się zachować niezbędnej powagi wywodu unikając tego istotnego elementu. Sama natura języka, jako podstawowego narzędzia komunikacji niezbędnej do jakichkolwiek działań, uniemożliwia stosowanie uników: wszak przymiotniki w stopniu wyższym zawsze stosujemy dla porównania (humaniści pozdrawiają).
Na szczęście zarówno domena analogowa, jak i cyfrowa, posiadają takie domyślne wartości odniesienia. W pierwszym przypadku jest to ustalony próg słyszalności, w drugim – maksymalny poziom sygnału dopuszczalny przez formę zapisu.

Stąd też wartości dynamiki w domenie analogowej przyjmują na ogół wartości dodatnie (dB, dBu etc.), zaś w digi – ujemne (dBFS).

Kolejnym problemem jest właściwe zrozumienie samej skali – innymi słowy jej odniesienie do tego, co w rzeczywistości słyszymy.
W tym momencie, drogi Czytelniku, zapinamy pasy.

Zgodnie ze swoją definicją, dB jest jednostką logarytmiczną, czyli dającą skok jakościowy wraz z liniowym wzrostem wartości liczbowej.
Dobrą analogią jest tu skala Richtera: przy wzroście o 1 siła aktywności sejsmicznej skacze 10-krotnie. Aby lepiej uzmysłowić sobie mechanizm działania skali logarytmicznej weźmiemy dwa konkretne przykłady:

Zrozumiawszy z grubsza sposób działania skal logarytmicznych, powinniśmy ustalić skok jednostki i związaną z nim zmianę jakościową w odniesieniu do dźwieku.
Tym razem jednak zamiast brnąć w koszmar teorii, proponuję katapultowanie się zanim nieuchronne widmo katastrofy stanie się naszą ponurą rzeczywistością.

Dla zobrazowania jej potencjalnego ogromu wspomnę, iż sytuacja jest bardziej zagmatwana od scenariusza 17-go sezonu Mody Na Sukces (warto pamiętać, że w tym konkretnym przypadku poddała się nawet rada programowa TVP), a lista bohaterów zawiera takie koszmarki, jak dBu, dBm, dBSPL, dBFS, dBTP, V, W, Pa, Hz, kHz, sony (nie chodzi o firmę), fony, krzywe ważone i całą stertę innego tałatajstwa, które lepiej teraz pominąć, niczym trupa w szafie, udając beztrosko, że wszystko jest jasne. Wystarczy nam wiedzieć póki co, że na każde ~6 dB przypada dwukrotny skok amplitudy sygnału (napięcie prądu w kablach głośnikowych, ciśnienie akustyczne)

Skoro zatem wiadomo już na czym stoimy i jak głęboko w tym czymś toniemy, można swobodnie przejść do samych filtrów, póki co wciąż jeszcze od strony czysto teoretycznej (“racz wybaczyć Senior”, staram się odwlec nieuchronny moment zapadnięcia się po szyję w praktycznym podziale filtrów ze względu na konstrukcje i zastosowania).

Podstawą teoretyczną analizy i modyfikacji sygnału w domenie częstotliwościowej są prace J.B.J. Fouriera i L. Eulera (przy odrobinie samozaparcia moglibyśmy dorzucić pewnie jeszcze kilku, np.: G.F.B. Riemanna, H. Poincare’ego, czy C.F. Gaussa), w których rozpatrywano właściwości fizyczne fal. Jednym z ich istotnych dla nas aspektów, była analiza pewnych konkretnych fal złożonych i twierdzenia umożliwiające ich rozkład na sumy przebiegów sinusoidalnych (szereg Fouriera).

Transformacja Fouriera w domenie częstotliwości i czasu. (Wikipedia)

Dość powiedzieć, że prace te nie tyle miały znaczący wpływ na rozwój naszej dziedziny, ile po raczej umożliwiły w ogóle jej powstanie.
Doskonałym przykładem jest tu Szybka Transformacja Fouriera (FFT) umożliwiająca podział pasma na konkretne częstotliwości, lub zakresy – jak to przedstawia grafika powyżej.
Brzmi znajomo?

No właśnie.

Jak zwykle jednak w życiu: coś kosztem czegoś. A kosztem w tym przypadku są zniekształcenia wynikające z różnic w amplitudzie, fazie i opóźnień pomiędzy poszczególnymi elementami sygnału. Różnice te zaś są uzależnione od częstotliwości elementów składowych dźwięku. Ponadto istotny wpływ na zniekształcenia ma też charakterystyka samego urządzenia (rezonans układu).
Jak przystało na zjawiska złożone – ilość elementów wpływających na rezultat, jest przygniatająca, część z nich zaś – nieprzekraczalna (vide: Wikipedia).

– Nie ma problemu – chciałoby się rzec. – Na zniekształcenia głośności można wziąć poprawkę, a fazowe pominąć.
Czy aby?
Dwa poniższe skriny przedstawiają rezultaty przesunięcia fazy pomiędzy poszczególnymi grupami składowych przebiegu Sq32 (przebieg falowy o charakterze zbliżonym do kwadratowego, złożony z pierwszych 32 składowych).

Na potrzeby eksperymentu przebieg został odtworzony układzie równoległym 4 oscylatorów generujących kolejne grupy składowych (po 8). Przesunięcia fazowe wprowadzone zostały na konkretnych oscylatorach.

1. wszystkie składowe pozostają w zgodności fazowej.

sq 0-0-0-0

2. Oscylator nr 2 (harmoniczne 8-15) przesunięty o 15% w fazie.

sq 0-15-0-0

3. Oscylator nr 1 (fundamentalna + harmoniczne 1-7) przesunięcie 8%; oscylator nr w (harmoniczne 8-15) przesunięcie 17%; oscylator 3 (harmoniczne 16-23) przesunięcie 48%; oscylator 4 (harmoniczne 24-31) przesunięcie 31%

sq phaseout

Jak widać z naszego pięknego przebiegu kwadratowego pozostały popiół i zgliszcza. I chociaż jest to prawdopodobnie mocno przerysowany przypadek, to jednak dobrze oddaje naturę problemu, zwłaszcza w przypadku niektórych urządzeń.

Z tym muszą zmagać się teoretycy, a z czym musimy się zmagać my?

Działanie filtrów definiowane na ogół jest ze strony użytkownika przy użyciu dwóch, lub trzech parametrów:

  • częstotliwość odcięcia (frequency, Hz)
  • dobroć (Q)
  • w niektórych typach i konstrukcjach również: wzmocnienie (gain, dB)

Częstotliwość odcięcia, czy też częstotliwość graniczna, to wartość definiująca podział pasma na część niepodlegającą w założeniu ingerencji filtra (czyli przysłowiowe ziarno), i resztę (analogicznie: plewy).
Może ona być wartością graniczną (LP, HP, shelf), lub punktem centralnym obszaru podlegającego (BP), bądź niepodlegającego (BR) ingerencji. W niektórych przypadkach może definiować główną częstotliwość jakiegoś szeregu, bądź zbioru harmonicznych (comb, formant).

Drugi parametr jest nieco trudniejszy do wyjaśnienia. Aby choć trochę rzecz ułatwić przeniesiemy się na chwilę do USA z roku 1940.

Ta jakże piękna katastrofa spowodowana jest pewnym dość konkretnym aspektem relacji między falą, a – pozostającym w interakcji z nią – systemem. Tym aspektem jest rezonans, czyli nierównomierność w sile tłumienia fali, uzależniona od jej częstotliwości. Każdy system ma własną częstotliwość rezonansową, czyli taką przy której straty energii przenoszonej przezeń falą są najmniejsze (w porównaniu do reszty pasma). Fala zatem ulega mniejszemu wytłumieniu, zaś przy dłuższym wzbudzaniu systemu, następuje interferencja fali z samą sobą, czego rezultatem jest jej wzmocnienie. Rozkład różnic w sile tłumienia między częstotliwością rezonansową systemu, a pozostałymi definiuje właśnie dobroć. Podstawowym modelem matematycznym opisującym ją jest krzywa rozkładu Gaussa, zwana dzwonową

W przypadu filtrów dobroć (jako parametr podlegający regulacji) nie ma – zdaje się – bezpośredniego wpływu na realną skuteczność filtra (nachylenie, slope), co nie zmienia faktu, iż dzięki wzmocnieniu rezonansu pasma na granicznego, może wydatnie zwiększać wrażenie skuteczności filtra (jest to po części efekt psychoakustyczny).

* * *

No cóż, nie da się tego dłużej odwlekać… muszę jednak przestrzec, iż będą to bardzo uproszczone i subiektywne schematy podziału.

Pod kątem siły odcięcia (nachylenie, slope) podział filtrów brzebiega ze względu na rząd (order, pole). Zanim, drogi Czytelniku spytasz, czymże to jest, ostrzegę Cię:

  • moja odpowiedź będzie różnić się od spodziewanej, choć przynajmniej w części zawierać będzie istotne informacje,
  • jeśli – nie daj Boże – uznawszy ją za niewystarczającą, zechcesz wywiedzieć się na własną rękę, pamiętaj, że piszący te słowa zagłębił się w oną głuszę, próbował słodyczy jej owoców i przez długi czas potem wyglądał tak:
    … czuj się przestrzeżony.

A zatem rząd jest jednym z tych narzędzi bezwzględnego terroru, po które leniwe matki chętnie sięgają, by utemperować rozbrykane potomstwo. To jedna z tych zdobyczy cywilizacji, dzięki którym niezliczone rzesze studentów miały możliwość poznać smak męskiej przygody zamieniając sale wykładowe i biblioteki na zapierające dech w piersiach krajobrazy pooranych pociskami artyleryjskimi poligonów.
Praktycznie jednak rzecz ujmując, rząd łączy się z kątem nachylenia odcięcia zgodnie z zależnością: – 6n dB/ okt., gdzie n oznacza właśnie rząd filtra (ta dokładnie wartość dotyczy konkretnych konstrukcji filtrów).
Oznacza to tyle, iż np. filtr drugiego rzędu (2pole) ma siłę tłumienia 12 dB/okt, czyli wraz z dwukrotnym wzrostem częstotliwości, głośność sygnału spada czterokrotnie.
Co ciekawe – częstotliwość odcięcia jest co prawda wartością graniczną, tym niemniej definicja tej wartości to punkt, w którym sygnał jest już wyciszony o 3 dB.

Ze względu na zakres działania w obrębie pasma możemy wyszczególnić dwa główne typy:

  • filtry dolnoprzepustowe (low-pass, LP)
  • filtry górnoprzepustowe (high-pass, HP)

oraz pochodne będące ich połączeniem:

  • bandpass (BP: LP – HP, gdy częstotliwość odcięcia LP jest większa, niż HP)
  • band reject (bandstop, BR, notch : LP – HP, gdy częstotliwość odcięcia LP jest mniejsza, niż HP)

Wyżej wymienione typy filtrów bazują na odcięciu fragmentów pasma, poprzez wyciszenie, są wszakże i mroczniejsze – ingerujące w sygnał poprzez zmiany fazowe:

  • filtr grzebieniowy (comb filter)
  • filtr fazowy (allpass filter)

Mamy wreszcie grupę filtrów opartych na rezonansie konkretnych częstotliwości:

  • filtr formantowy (formant filter)

Co jest czym, czyli krótka historia w obrazkach i nie tylko.

Low-pass

lp

Hiph-pass

hp

Band-pass

bp

Notch (oraz Band-reject)

notch

Tutaj kilka słów wyjaśnienia. Skrin przedstawia ingerencję filtra Notch, który jest agresywniejszy (większe Q powoduje wyostrzenie brzegów przetwarzanego pasma).
Filtry typu Band-reject, są delikatniejsze (mniejsze Q), zatem szerokość pasma jest większa, a zmiany w sile ingerencji płynniejsze.

Cuda, wianki.

Comb

comb

Feedforward, sygnał zostaje zdublowany i po opóźnieniu jednego toru zsumowany z powrotem. Częstotliwości zaniku są bezpośrednio związane z czasem opóźnienia (na skrinie t = 2 ms)

comb 2

Feedback, zasada taka sama, jak przy feedforward, jednak punkty rozdzielenia sygnału i jego połączenia zostają odwrócone, tak iż najpierw sygnał czysty zostaje zsumowany z opóźnionym, a dopiero ta mieszanka zostaje rozdzielona na sygnał wyjściowy i tor opóźniający.
Oznacza to iż pewna część informacji zawartej w sygnale krąży pętli ulegając coraz mocniejszemu przekształceniu, którego częstotliwości rezonansowe związane są z sumą opóźnienia wywołanego przez dedykowane urządzenie (na skrinie t = 1 ms), oraz sam tor.

Brick-wall filter.

Odmiana filtrów typu low-pass (sinc filter), band-pass, high-pass o ekstremalnej charakterystyce. Model teoretyczny tego typu filtrów zakłada całkowite usunięcie pasma odcięcia równo z częstotliwością graniczną bez zniekształceń fazowych w sygnale wyjściowym.
W rzeczywistości filtry typu brickwall nie są co prawda tak skuteczne, tym niemniej ich potencjał wciąż może budzić słuszny podziw.

brickwall

Bell

bell

Typ filtra wykorzystywany namiętnie w korektorach parametrycznych z uwagi na dużą elastyczność, którą oprócz standardow parametrów (częstotliwość, dobroć) zapewnia dodatkowo głośność. Bell może zatem służyć zarówno do wyciszenia, jak i wzmocnienia konkretnych obszarów, lub częstotliwości.
na skrinie: additive bell: ~ 340Hz, subtractive bell: ~8,5 kHz, w obu przypadkach – dla dokładniejszego ukazania wpływu filtra na pasmo – duże wartości parametrów gain oraz Q.

Shelf

Oddzielna klasa filtrów o funkcji nieco zbliżonej do LP/HP, jednak zamiast całkowitego cięcia pasma zmniejszają tylko głośność.
Na skrinie low shelf: freq ~200 Hz, Q ~1; high shelf: freq ~2 kHz, Q ~30.

shelf

Formant

Ten typ filtra został opracowany na potrzeby wczesnych syntezatorów mowy i odtwarza charakter brzmieniowy zmian harmonicznych głosu w płynnych przejściach pomiędzy poszczególnymi samogłoskami. Efekt ten uzyskiwany jest poprzez przesunięcie zestawu filtrów typu Bell w predefiniowanej relacji względem zmiany brzmienia odtwarzanej głoski (zwłaszcza dyftongów) oraz częstotliwości bazowej. Filtry takie mogą mieć nawet po kilkanaście matryc uwzględniających różnice pomiędzy poszczególnymi skalami głosu, oraz specyfiki konkretnych języków.

* * *

Ze względu na stosowaną algorytmikę możemy z kolei wyróżnić:

Filtr Butterwortha.
Rozwiązanie powszechnie wykorzystywane w muzyce. To właśnie panu Stephenowi Butterworthowi możemy zawdzięczać możliwość korzystania z filtrów (LP, HP) różnych rzędów, i to właśnie te filtry mają zdefiniowane wyostrzenie nachylenia o 6 dB/okt. dla każdego kolejnego rzędu, jak również sciszenie w częstotliwości odcięcia o 3 dB.

Filtr Czebyszewa.
Dwa typy filtrów (LP, HP) różnych rzędów, z których pierwszy (Chebyshev type I) wprowadza zaburzenia głośności pasma przepustowego, drugi (Chebyshev type II) – pasma zaporowego. Oba powodują silne zaburzenia fazowe sygnału. Z założenia algorytm Czebyszewa ma mocniejsze nachylenie pasma granicznego (slope).

Filtr eliptyczny (filtr Cauera, filtr Zolotarewa).
Typ filtra o dużej skuteczności, powodującego jednak zaburzenia głośności zarówno w pasmie przepustowym, jak i zaporowym.

Filtr Bessela.
Rozwiązanie stosowane w zwrotnicach, ze względu na minimalne zaburzenia fazowe. Jego wadą są jednak zniekształcenia głośności pasma granicznego. Działa wyłącznie, jako LP o niewielkim nachyleniu (?).

Filtr Gaussa.
Typ filtra wykorzystującego algorytmikę rozkładu Gaussa (Bell).

Filtr Legendre-Papoulisa (Optimum “L” filter)
Typ filtrów różnych rzędów będący swoistym kompromisem pomiędzy modelami Butterwoortha (duża wierność, miękki), a Czebyszewa (większa skutecznośc kosztem zniekształceń). Nazwa (ta druga – znaczy) pochodzi zastosowania w algorytmice wielomianów Legendre. Stąd, jak mówią bajarze, te takie duże “el”.

Filtr Linkwitza-Riley’a (Butterwoorth squared filter).
Proste, a skuteczne rozwiązanie zaproponowane na potrzeby krosownic. Konstrukcja opiera się szeregowym połączeniu dwóch filtrów Butterwoortha, tego samego typu. Konstrukcja takiej krosownicy (crossover) składa się z dwóch równoległych linii, na których założone filtry LR o wspólnej częstotliwości odcięcia. Z uwagi na konstrukcję filtrów poziom sygnału w częstotliwości odcięcia wynosi -6dB, zatem krosownica nie wprowadza znaczących przeklorowań pasma. Annały wspominają jednak, iż filtry LR wyższych rzędów mogą powodować pewne przekłamania fazowe.

Polyphase Quadrature Filter
Odmiana wielopasmowego zestawu filtrów wykorzystywanego do analizy sygnałów na potrzeby kompresji stratnej, np. mp3. Rozwiazanie to zostało zaproponowane przez J. Rothweilera w 1983 roku.

Listę tę można by ciągnąć jeszcze długo dosypując niezliczonych nazwisk, dziwnych symboli oraz coraz bardziej bełkotliwych opisów, których zrozumienie wymaga lat ślęczenia nad płytkami i setnych poparzeń lutownicą.

* * *

Zastosowania
(mówimy tylko o bezpośrednich zastosowaniach w torach audio).
Filtry wykorzystywane są niemal wszędzie, od przetworników AD/DA, przez zwrotnice w systemach nagłośnieniowych: kolumnach głośnikowych, monitorach studyjnych, wzmacniaczach, syntezatorach, mikserach i konsolach, efektorach oraz samodzielnie – tzn. w korektorach i filtrach.

I choć może nie być to takie oczywiste, to jednak w tym ostatnim przypadku odznaczają się one szczególnie wysoką zawartością cukru w cukrze.

* * *

BONUS

Carl Fredriech Gauss vs. Stephen Butterworth. Kto pierwszy zrobił ten bit?

Butterworth? (nachylenie filtrów LP różnych rzędów)

Czy Gauss? (dystrybuanta rozkładu normalnego dla różnych wartości wariancji)

[]txt v.03

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s